Sinetická věta. Řešení trojúhelníků

Studium trojúhelníků nedobrovolně vyvolává otázkuna výpočet vztahu mezi jejich stranami a úhly. V geometrii poskytuje kosinus a sinusová věta nejkomplexnější odpověď na řešení tohoto problému. V množství různých matematických výrazů a vzorců, zákonů, věty a pravidla jsou takové, že se liší v mimořádné harmonii, srozuměnosti a jednoduchosti při šíření významu, který je v nich obsažen. Sinetická věta je živým příkladem takové matematické formulace. Pokud v slovním výkladu existuje určitá překážka v pochopení tohoto matematického pravidla, pak když se podíváte na matematický vzorec, všechno okamžitě padne na místo.

První informace o této vědě byla nalezena ve formě důkazu v rámci matematického díla Nasir ad-Din Al-Tusi z 13. století.

Bližší přiblížení ke vztahustranách a úhlech v libovolném trojúhelníku, stojí za zmínku, že sinusová věta umožňuje řešit spoustu matematických problémů, zatímco tento zákon o geometrii se uplatňuje v různých typech praktické lidské činnosti.

Samotná věta sine říká, že pro všechnytrojúhelník je charakterizován proporcionálností stran na sinech protilehlých úhlů. Existuje také druhá část této věty, podle které poměr jakékoliv strany trojúhelníku k sinusu protilehlého úhlu je roven průměru kruhu popsaného v blízkosti zvažovaného trojúhelníku.

Ve tvaru vzorce vypadá tento výraz

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Má větu sine důkazu, která je v různých verzích učebnic nabízena v mnoha různých verzích.

Zvažte například jeden z důkazů, které vysvětlují první část věty. Pro tento účel nastavíme cíl prokázat platnost výrazu a sinC = c sinA.

V libovolném trojúhelníku ABC postavíme výškuBH. V jedné z variant konstrukce bude H ležet na segmentu AC a na druhém vnějším místě, v závislosti na úhlech na vrcholech trojúhelníků. V prvním případě může být výška vyjádřena z hlediska úhlů a stran trojúhelníku, neboť BH = sinC a BH = c sinA, což je požadovaný důkaz.

V případě, že bod H je mimo hranice segmentu AC, můžeme získat následující řešení:

BH = sinC a BH = c sin (180-A) = c sinA;

nebo BH = sin (180-C) = sinC a BH = c sinA.

Jak vidíme, bez ohledu na možnosti výstavby dosáhneme požadovaného výsledku.

Důkaz o druhé části věty to vyžadujepopisujeme kruh kolem trojúhelníku. Přes jednu výšku trojúhelníku, například B, budeme vytvářet průměr kruhu. Získejte bod na kružnici D s jednou výškou trojúhelníku, ať je bod A trojúhelníku.

Pokud zvážíme výsledné trojúhelníky ABD aABC, pak vidíte rovnost úhlů C a D (jsou založeny na jednom oblouku). A vzhledem k tomu, že úhel A je devadesát stupňů, potom sin D = c / 2R, nebo sin C = c / 2R, který měl být prokázán.

Syntetická věta je počáteční bod prořešení široké škály různých úkolů. Zvláštní atrakcí je jeho praktické aplikace, jako důsledek Věty jsme schopni týkají hodnotu trojúhelníku stran, protilehlé úhly a poloměr (průměr) kružnice opsané kolem trojúhelníku. Jednoduchost a dostupnost vzorce popisující tento matematický výraz, nechá se hojně využívají tuto větu řešit problémy pomocí různých mechanických zařízení počitatelných (logaritmických pravítek, stoly, a tak dále.), Ale i příchod servisní technik výkonných výpočetních zařízení není snížen význam této věty.

Tato věta je nejen zahrnuta do povinného kurzu geometrie střední školy, ale dále se uplatňuje v určitých oborech praktické činnosti.